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都说股市是赌场,但是赌也是有学问的

作者:十年赢家网   标签:   624次浏览    2016.01.21

从数学的角度看,投资与赌博没有本质的区别,都是在信息不完全,不确定的情况下决策,希望获得最大回报。

都说股市是赌场,但是赌也是有学问的。凯利公式就是这样一种学问。这个公式要解决的是赌博者多次下注时每次投入本金的最佳百分比。利用这个最佳百分比,赌博者可以获得最快的财富增长。

假设用投掷硬币的方式赌博。正面赢,获得下注的等额回报。反面输,损失全部下注。假设正面的概率为p,反面的概率为q,每次下注金额占本金的比例为f,原始本金为x,每次下注则为xf。那么选取什么样的f值能让n次投注后的财富增长最多呢?这就是凯利公式要解决的问题。

从上图可以看出经过n次投注后赌博者所剩的财富的公式。而我们需要找到一个最佳的f值,让这个n次投注后的终值与最初的x值的比例最大。这个比例可以稍加变换:

实际上就变成了求下面这个公式的最大值:

根据大数定律,可以进一步转换为:

取一阶导数,并令其等于零,则可以得出最佳的投注比例:

为了数学上的严谨性,我们还要看二阶导数:

由于二阶导数小于零,所以一阶导数在[0,1)区间是严格单调下降的。由于在原点处一阶导数大于零,在f趋近1时一阶导数趋近负无穷。

由于一阶导数的连续性,当f =p - q 的最佳投注比例时,财富增长存在一个唯一的最大值。

上面的情况是最简单的,赔率为1。另外,还可以有更复杂的,如赔率为b的情况(输则损失掉全部投注,赢则获得投注的b倍的奖金)。另外,如果输的时候不输掉全部投注,只输掉c倍(0< c < 1)的投注,赢的时候赢得投注的b倍的奖金。这些都是凯利公式的变种。

可以看出,当赔率b很高,即回报很高时,最佳投注比例为求极值:


即最佳投注比例与回报倍数b无关,而仅与胜率p有关。 无论回报有多高,如果胜率很低, 也不应该在超过胜率的百分比之上投入本金。

因此,投资,包括风险投资,是关于确定性的行业。在投资中,确定性比回报更重要。高回报并不能弥补高度的不确定性。一个投资,即使有一百万倍的回报,但如果赢的可能性只有5%,那也至多应该投入5%的本金。大多数赌徒和投资者根本不明白这个道理,总是追寻几万倍的高回报,而不是适当的回报加上高度的确定性。这就是赌徒们倾家荡产的数学原理。

值得注意的是,当赌输的时候只输掉很小一部分,即c是很小的百分数,而赢的回报非常高,即b是一个大于1的数时,f值可以大于1,也就是说借钱赌才是理性的。而且在这种情况下,即使赢的几率很小,远低于输的几率也没关系,借钱赌也是合理的,因为赢的回报远高于输的损失。这其实就是泡沫的一个内在原因之一。当赌输的损失不大,而赢的回报非常高,借钱去赌是一种理性的选择。虽然大家都知道泡沫不可持续,泡沫继续上涨的几率远低于下跌的几率,但是只要输的损失不大(如政府救市兜底),赢的回报足够大,大家还是会趋之若鹜,疯狂推高泡沫。这其实是非理性中的理性选择。

虽然凯利公式非常有意义,但应用在股票中还要更复杂的计算,涉及到协方差。凯利公式的条件是各次投注是独立的事件,而股票市场的投资很难做到独立。而且,当投资的股票超过一个时,由于股票之间的相关性,就不能简单的应用基本凯利公式。对于没有复杂模型和大型计算机的普通投资者,基本面分析还是一切的基础。而且很多股票的投资回报的大小及概率还要依靠基本面分析。股票投资没有万能的公式。


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